5
V trojúhelnících rovnoramenných úhly při základně jsou si rovny, a prodlouží-li se stejné přímky (ramena), úhly pod základnou budou si rovny.
Trojúhelníkem rovnoramenným buď ABC, rameno AB buď =AC, a prodlouženy buďte přímky AB, AC o přímky BD, CE; pravím, že ∡ABC=ACB a ∡CBD=BCE.
Nuže vezměme na BD kterýkoli bod F a od delšího AE odřízněme AG rovné menšímu AF a veďme přímky FC, GB. Ježto tedy AF=AG, jakož i AB=AC, obě ovšem strany FA, AC střídavě stejné jsou s oběma GA, AB; také společný úhel svírají, totiž FAG; základna tedy FC=BG a bude △AFC=AGB i ostatní úhly ostatním úhlům, proti nimž leží stejné strany, střídavě budou rovny, ACF=ABG, AFC=AGB. A ježto celé AF rovno celému AG, z čehož AB=AC, zbytek tedy BF=CG. Dokázáno však, že též FC=GB, patrně obě, BF i FC, oběma, CG i GB, střídavě se rovnají; rovněž ∡BFC=CGB, a základna jejich BC je společná; také tedy bude △BFC=CGB, i ostatní úhly úhlům ostatním, proti nimž leží stejné strany, střídavě budou rovny; tedy ∡FBC=GCB a BCF=CBG. Ježto tedy celý ∡ABG úhlu ACF ukázal se rovným, z nichž CBG=BCF, zbývající tedy ABC rovná se zbývajícímu ACB, a jsou při základně trojúhelníku ABC, Dokázáno pak bylo, že i ∡FBC=GCB, a jsou pod základnou.
Tedy v trojúhelnících rovnoramenných — —.
Když jsou si v trojúhelníku dva úhly rovny, též strany proti stejným úhlům ležící budu si rovny.
Trojúhelníkem, majícím ∡ABC=ACB, budiž ABC; pravím, že i strana AB=AC. A Neboť jestli AB≶AC, jedna z nich jest větší. Buď větší AB, a budiž od větší AB odříznuta DB, rovná straně menší AC, a vedena buď DC. Ježto tedy DB=AC a společnou jest BC, tož DB a BC s AC a CB jednotlivě stejné jsou, a ∡DBC=ACB; tedy základna DC=AB, a △DBC=△ACB, menší většímu, což nesmyslné; není tedy strana AB s AC nestejná; tedy stejná.
Když jsou si tedy v trojúhelníku — —.
