Ottův slovník naučný/Differenciální počet

Ottův slovník naučný
Differenciální methoda	Differenciální počet	Differenciální rovnice

Údaje o textu
Titulek:	Differenciální počet
Autor:	František Josef Studnička
Krátký popis:	encyklopedický článek
Zdroj:	Ottův slovník naučný. Sedmý díl. Praha: J. Otto, 1893. s. 512–515. Dostupné online.
Licence:	PD old 70
Heslo ve Wikipedii: Diferenciální počet

Differenciální počet učí vyhledávati differenciály daných funkcí (v. t.) na základě tomto: Závisí-li hodnota proměnné veličiny y na hudnotě jiné proměnné x způsobem stanoveným symbolicky výrazem funkcionálním $y=f(x)$ a zvětšíme-li hodnotu neodvisle proměnné x o malou veličinu ∆x zvanou (∆ zastupuje slovo difference), tak že hodnota odvisle proměnné y se změní — zvětší nebo zmenší — o veličinu ∆y zvanou, bude tedy, jakož předpokládáme, $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$, z čehož pak plyne se zřetelem k dané relaci $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, tak že poměr obou těchto změn ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$ vyjádřen jest co podíl mezi rozdílem dvou hodnot odvisle proměnné y, totiž $f(x+\Delta x)-f(x)$ a rozdílem příslušných dvou hodnot neodvisle proměnné x, totiž $(x+\Delta x)-x=\Delta x$.

Poněvadž této proměnné možno přiděliti postupně a nepřetržitě všechny číselné hodnoty mezi −∞ a +∞ ležící (∞ co symbol čísla nekonečně velkého zavedl John Wallis r. 1665), tak že rozdíl dvou po sobě jdoucích hodnot jest veličina nezmenšitelná, tedy menší nežli kterákoli veličina malá, což vyjadřujeme též rčením, že se do nekonečna blíží nulle, že má za mezní hodnotu čili limitu 0, stanovíme zároveň platností $\lim \Delta x=0$, že příslušná změna odvisle proměnné y, vyjádřená obdobným symbolem ∆y, má současně též nullu za limitu. A tu tedy stanovíme, že nekonečně malá změna neodvisle proměnné x způsobuje úměrnou nekonečně malou změnu odvisle proměnné y, načež limita poměru těchto differencí nazývá se poměrem příslušných differenciálů, tak že platí a se píše (d zastupuje slovo differenciál) $\lim {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x=0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$; jiný pak způsob označení užívá symbolu ${\frac {dy}{dx}}=f'(x)=D_{x}f(x)$, což zavedl Lagrange a Cauchy (D_x zastupuje rčení: derivace podle x).

Jakož funkce f(x) jest danou neboli původní, sluje funkce f'(x) odvozenou neb její derivací. Nauka, podle níž se stanoví f'(x) funkci f(x) příslušné, sluje pak počet derivační. A poněvadž z poslední relace plyne $dy=f'(x).dx=D_{x}\,f(x).dx$, obdrží se differenciál odvisle proměnné co součin derivace příslušné funkce s differenciálem neodvisle proměnné, tak že nauka, podle níž se stanoví differenciál daných funkcí, jest předmětem počtu differenciálního. Z čehož patrno, že počet derivační a differenciální se v podstatě od sebe neliší.

Jestli tedy na př. $y=2x^{2}+3x+4$, bude podlé tohoto výměru napřed $y+\Delta y=2(x+\Delta x)^{2}+3(x+\Delta x)+4$, načež obdržíme bez vymezení ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=4x+3+2\Delta x$, a přejdeme-li k limitám, konečně ${\frac {dy}{dx}}=4x+3$, což představuje derivaci předložené funkce, z níž plyne $dy=4xdx+3dx$ co její differenciál.

Velmi dobře objasňuje nový tento pojem význam jeho v nauce o křivkách rovinných. Vyjadřuje-li rovnice $y=f(x)$ v pravoúhlých souřadnicích nějakou křivku, jejíž čásť souvislou představuje AB v obraze vedlejším, tak že OC=x, CA=y, CD=∆x. DB=y+∆y, obdržíme, vedouce AE∥CD a pojíce bod A přímkou s bodem B ∡BAE=σ, tak že EB=∆y a tedy $\tan {\sigma }={\frac {BE}{AE}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.

Tato stránka potřebuje rozšířit.

Můžete Wikizdrojům pomoci tím, že ji vhodně rozšíříte.
Důvod nebo poznámka: doplnit obrázek

Blíží-li se pak bod D do nekonečna bodu C, tak že lim ∆x=0, blíží se bod B taktéž do nekonečna bodu A, čímž sečna AB sváží se dopevné polohy AT, tečnou bodu A dané, úhel σ pak přechází v úhel TAE=τ, jejž svírá tečna AT s osou úseček, tak že konečně bude $\lim {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {dy}{dy}}=f'(x)=\tan {\tau }$. Derivace naší funkce značí tedy trigonometrickou tangentu úhlu, jejž svírá tečna příslušného bodu s osou úseček. Jestli pak τ=0, tečna tedy rovnoběžnou s osou úseček, jest příslušná pořadnice buď větší nebo menší nežli pořadnice předcházející a následující, tak že příslušný bod křivky jest tu vrcholem, funkce pak dosahuje současně hodnoty maximální neb minimální. Kdyby na př. určiti bylo úhel, jejž svírá tečna křivky známou rovnicí $y=2x^{2}+3x+4$ dané s osou úseček v bodě, jehož x=−1, Obdržíme dle dřívějšího výsledku $y'=4x+3$, dosadíme-li tam za x tuto hodnotu, y'=−1 = tg τ, z čehož patrno, že τ=135°. A kdybychom chtěli věděti, pro jakou hodnotu úsečky vyskytuje se u předložené křivky vrchol, maximum nebo minimum pořadnice, učiňme $y'=4x+3=0$ z čehož plyne x=−¾, tak že dosadíce tuto hodnotu do rovnice křivky, zjednáme si pro příslušné y hodnotu 2⅞.

Z čehož i pochopitelno, jak vedlo všeobecné řešení úkolu tangentního a úkolu maxima nebo minima k ustálení pojmu derivačního a vyvinutí počtu differenciálního.

Poněvadž možno derivaci dané funkce nějaké všeobecně považovati za funkci původní a k ní vyšetřiti příslušnou derivaci, obdrží se tímto způsobem derivace druhá, jakož i podobně derivace třetí, čtvrtá, … n-tá a tudy též differenciál druhý, též differencio differenciál zvaný, pak d. třetí, čtvrtý, …, n-tý.

Podle toho máme na př. pro $y'=4x+3=0$ příslušnou derivaci druhou ${\frac {df'(x)}{dx}}=\lim {\frac {4(x+\Delta x)+3-(4x+3)}{\Delta x}}=4$, načež třetí a všechny další derivace jsou zde nullou, poněvadž derivace veličiny stálé jest vůbec 0.

Způsob, jak označují se takovéto vyšší derivace neb differenciální poměry, totiž ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=y''=f''(x)=D_{x}^{2}f(x)$,
${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=y'''=f'''(x)=D_{x}^{3}f(x)$,
…
${\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}=y^{(k)}=f^{(k)}(x)=D_{x}^{k}f(x)$, vede pak k označení vyšších differenciálů a sice $d^{2}y=f''(x).dx^{2}=D_{x}^{2}f(x).dx^{2}$,
$d^{3}y=f'''(x).dx^{3}=D_{x}^{3}f(x).dx^{3}$,
…
$d^{k}y=f^{(k)}(x).dx^{k}=D_{x}^{k}f(x).dx^{k}$. Předložena-li však proměnná z, závislá na dvou neodvisle proměnných x a y, jako na př. závisí váha nějakého tělesa i na jeho velikosti i na jeho hutnosti, tak že závislost tu všeobecně vyjádřena výrazem symbolickým $z=F(x,y)$, nutno rozeznávati dvojího druhu změny její a sice souvislé se změnou pouze jedné proměnné x nebo y a souvislé se změnou současnou obouˇ proměnných. První případ neposkytuje nic pojemně nového, jelikož se proměnná, k níž se změna nevztahuje, může považovati soudobně za stálou; a tu jsou tedy příslušné derivace vyjádřeny vzorcem ${\frac {\partial z}{\partial x}}=\lim _{\Delta x=0}{\frac {F(x+\Delta x,y)-F(x,y)}{\Delta x}}$,
${\frac {\partial z}{\partial y}}=\lim _{\Delta y=0}{\frac {F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y}}$.

Takovéto derivace slují částečné čili partiální a označují se zvláštním tvarem litery ∂, jakž poprvé učinil slovutný mathematik Jacobi r. 1841. Druhý případ poskytuje pak úplný differenciál, skládající se ze součtu částečných differenciálů podle vzorce $dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy$.

A podobně skládá se differenciál funkce n proměnných, x₁, x₂, x₃, …, x_n zvaných, $u=f(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n})$ ze součtu n částečných differenciálů podle jednotlivých těchto proměnných podle vzorce $du=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}dx_{k}$.

Jak se má odvozená funkce k funkci původní, o tom poučuje nás její ráz vůbec a jakost průběhu hodnot odvisle proměnné zvlášť, tak že tu vyskytuje se veliká rozmanitost případů od supposice svrchu stran nepřetržitosti vytčené se odchylujících. Abychom uvedli aspoň jednu různost typickou, ustanovme pro funkci $y=(-a)^{x}$. podle základního pravidla derivaci; budeť tu ${\frac {dy}{dx}}=\lim {\frac {(-a)^{x+\Delta x}-(-a)^{x}}{\Delta x}}=(-a)^{x}\lim {\frac {(-a)^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=(-a)^{x}l(-a)$, kdež platí, jak známo, $l(-a)=la+(2k+1)\pi i$, z čehož patrno, že výsledek jest vyjádřen veličinou soujemnou.

D. p. jest vynálezem věku nového. Po některých více méně šťastných pokusech, řešiti všeobecně úkol tangentní a maxima neb minima (v. t.), jakéž poskytl zejména Fermat († 1665), sestavil Leibniz v Němcích, Newton pak v Anglii, každý svým způsobem a skoro současně, zvláštní nauku, jak se z dané funkce nějaké vyvine její funkce odvozená, při čemž ukázáno, jak možno nového algorithmu tohoto, d. p. zvaného, užiti k řešení úkolů dříve jmenovaných. Zároveň pak i řešili úkol obrácený, jak se k danému výrazu differenciálnímu vyhledává neznámá funkce původní, jejíž derivace tedy objevuje se v předloženém výrazu differenciálním, čímž položeny základy počtu integrálního (v. t.), pomocí jehož řešeny pak též všeobecně úkoly kvadratury se týkající neboli obrácené úkoly tangentní, jež taktéž v XVII. stol. byly předmětem četných výzkumů mathematických.

Newton byl s vynálezem svým dříve (r. 1666) u cíle sobě položeného, uveřejnil však teprve r. 1687 i theorii i praksi v klassickém spise svém »Philosophiae naturalis principia mathematica«, kdežto Leibniz již r. 1684 zcela jasnou theorii svou podal ve sborníku vědeckém »Acta Eruditorum« tehdáž v Lipště vycházejícím a po celém učeném světě rozšířeném v pojednání »Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus«. A tak se na kontinentě s věcí ujala i Leibnizova terminologie, jako na př. pojmenování differenciál (»Newtonova fluxe«), načež další rozvoj počtu tohoto na veličinách nekonečně malých založeného a proto i počtem infinitesimálním zvaného proveden zejména důvtipnými pracemi bratří Bernoulliů během st. XVIII., v němž konečně zbudoval slavný Euler svými klassickými spisy »Institutiones calculi differentialis« (1753) a »Inst. c. integralis« (1768) tuto nauku v rozměrech na ten čas nejrozsáhlejších. V našem pak století rozšířen obor p. d. zavedením proměnných soujemných, k němuž položil základ napřed Cauchy (1825) a po něm Riemann (1851), tak značně, že od té doby nový rozvoj jeho sluší počítati. Literatura o p. infinitesimálním jednající jest obrovská. V naší řeči se odporučuje: Studnička »O původu a rozvoji počtu differenciálního a integrálního«, (v Praze, 1879), a Studnička »Základové vyšší mathematiky«, z nichž 1. sv. »O počtu differenciálním« vyšel r. 1878 v II. vyd. Pro první studium se taktéž odporučuje dvojdílný spis Schlömilch^ »Compendium der höheren Analysis« nebo velmi stručný, ale přesný Harnack »Elemente der Differential- u. Integralrechnung«, konečně důkladný Bertrand »Calcul différentiel« nebo Todhunter »A treatise on the Differential Calculus«. FStd.