Ottův slovník naučný/Binomická poučka

Z Wikizdrojů, volně dostupné knihovny
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Údaje o textu
Titulek: Binomická poučka
Autor: František Josef Studnička
Zdroj: Ottův slovník naučný. Čtvrtý díl. Praha : J. Otto, 1891. s. 76. Dostupné online.
Licence: PD old 70
Heslo ve Wikipedii: Binomická věta

Binomická poučka (binomiální věta, theorema binomiale) jest pravidlo, podlé něhož se n-tá mocnina binomu čili dvojčlenu vyjadřuje pomocí mocnitele n a mocnin jednotlivých, binom skládajících členů neboli monomů. Značí-li a binomu člen prvý, b pak člen druhý, platí všeobecně

při čemž symbolické označení

jež kratčeji se pomocí fakult (v. t.) vyjadřuje tvarem

Symbol , jejž zavedl Rothe roku 1820, sluje tu binomickým součinitelem čili koëfficientem (uncia binomialis) a nahrazuje se často tvarem neb , což se čte n s příponou k a n nad k, při čemž arci binomická příslušnost a s ní spojený význam se předpokládá.

Z tohoto významu vzorcem (2) daného plyne, že

pro ,

jestli n číslo positivní a celistvé, že však

pro ,

jestli n číslo buď negativní nebo lomené, z čehož jde dále na jevo, že řada binomická, na pravé straně vzorce (1) symbolicky vyjádřená jest v prvním případě konečnou obsahujíc člen, kdežto v případě druhém jde do nekonečna.

Jestli tedy n číslo positivní a celistvé, platí

podlé čehož možná sestaviti pro zvl. případy

a t. d.

Upravíme-li součinitele binomické od nullté mocniny počínajíc ve tvar trojúhelníkový, vznikne obraze zvaný trojúhelník Paskalův (viz Arithmetický trojúhelník), z něhož názorem se poznává, jak vznikají následující řádky z předcházejících, tak že se zde zračí vlastnost b. koëfficientů, vyjádřená vzorcem

zároveň tu jde na jevo, máme-li na zřeteli řádky šikmo na pravo nebo levo běžící, že představují arithmetické řady tak zv. součtové, a sice

zahrnuté všeobecným tvarem

Konečně ze vzorce (1) patrno, že pro obdrží se v případě prvém, kde n značí positivní a celistvé číslo,

čímž taktéž jedna z vynikajících vlastností b. součinitelů jest vyjádřena.

Poněvadž

zavede-li se označení , patrno, že možno b-ckou p-ku na jednodušší tvar, obsahující jen jeden libovolný člen x, uvésti, a sice na

kdež řada na pravé straně stojící taktéž do nekonečna jde, značí-li n číslo buď negativní nebo lomené, tak že, aby se jí pak smělo užiti, nutno vyšetřiti, zdali jse konvergentní čili sbíhavou.

Patříc k nejdůležitějším pravidlům mathematickým má b. p. bohatou literaturu a zajímavé dějiny, v nichž nejvíce vyniká Stifel, jenž poprvé vyjádřil vzájemnost b. součinitelů (Arith. int., 1544), načež Briggs neodvisle je skládati učil, pak Newton, jímž b. p. zevšeobecněna a hojně upotřebena, tak že často po něm zvána Newtonovou b-ckou p-kou, a konečně Abel, jehož stanovení podmínek konvergence řady binomické do nekonečna jdoucí (1826) dovršilo nauku o složení a jakosti n-té mocniny binomu. F. Std.