9
A ježto CBE=CBA+ABE, k oběma přičtěme ∡EBD; tedy CBE+EBD=CBA+ABE+EBD. Dále, ježto DBA=DBE+EBA, k oběma přičtěme ABC; tedy DBA+ABC=DBE+EBA+ABC. Ukázalo pak se, že i CBE+EBD týmž třem se rovnají. Veličiny však témuž rovné jsou i navzájem rovny; tedy též CBE+EBD=DBA+ABC; avšak úhly CBE, EBD jsou pravé; tedy též DBA, ABC rovnají se dvěma pravým.
Když tedy přímka na přímku — —.
Když na nějaké přímce a v bodě na ní dvě přímky na rozličných stranách ležící tvoří styčné úhly dvěma pravým rovné, ty přímky budou navzájem k sobě v přímce.
Nuže na nějaké přímce AB a v bodě na ní B tvořte přímky BC, BD, na rozličných stranách ležící, styčné úhly ABC, ABD dvěma pravým rovné; pravím, že bude BD ku BC v přímce.
Neboť není-li BD ku BC v přímce, budiž BE ku BC v přímce.
Ježto tedy přímka AB stojí na přímce CBE, tedy ∡ABC+ABE=2R; avšak též ∡ABC+ABD=2R; tedy CBA+ABE=CBA+ABD. Od nich společně buď odečten ∡CBA; zbývající tedy ∡ABE=ABD, menší většímu, což jest nemožno. Není tedy BE v přímce ku BC. Podobně ovšem dokážeme, že žádná jiná kromě BD; tedy CB je v přímce ku BD.
Když tedy na nějaké přímce — —.
Když se dvě přímky navzájem protínají, tvoří úhly vrcholové navzájem rovné.
Nuže protínejte se navzájem dvě přímky AB, CD v bodě E; pravím, že ∡AEC=DEB a ∡CEB=AED.
Neboť přímka AE stojí na přímce CD tvoříc úhly CEA, AED, tedy CEA+AED=2R; Dále, ježto přímka DE stojí na přímce AB tvoříc úhly AED, DEB, tedy úhly AED+DEB=2R. Bylo pak dokázáno, že též CEA+AED=2R; tedy