Ottův slovník naučný/Algebra geometrická

Ottův slovník naučný
Algebra	Algebra geometrická	Algebra logičná

Údaje o textu
Titulek:	Algebra geometrická
Autor:	Josef Beneš
Zdroj:	Ottův slovník naučný. První díl. Praha: J. Otto, 1888. S. 851. Dostupné online.
Licence:	PD old 70

Algebra geometrická (angl. geometric algebra) slove a., která má přirozenou neb umělou způsobilost pro určitá badání vztahů prostorových. A. kvantit musila rozvinouti svou bohatou theorii forem, aby nabyla způsobilosti v závodění geometrie analytické s ryzou synthetickou; a. universální zavádí jako ku každému badání, tak také k sledování vztahů prostorových příhodné symboly pro elementy prostorové, jejichž vhodná volba uznána byla předběžným badáním, rozvojem historickým; dále opět symboly pro elementární spojení, aggregace či operace těchto základních soujmův a konečně určuje si znaky pro základní vztahy. Výkonná její čásť obsahuje nejprve studium operativních vlastností základních soujmů, pak vývoj pravidel o spojování vztahů a vylučování pojmů. Vzorem provedení jest a. quaternionů, kteráž povstala z mnohých nezdařených snah po prostorném zobdobnění a zobecnění Argandovy představy soujemných důsledků nepřímých operací číselních. Pokusy a-ber g-ých byly stupni sprostředkujícími mezi a-rou kvantit (a. v obyčej. smyslu) a a-rou kvalit (logičnou); vedly až k a-bře spojených vztahů kvalitativních a kvantitativních či k a-bře universální. Příklady a-ber g-ých jsou většinou universace neb parallely a-ry quaternionů; jsou to na př.: Grassmannova Ausdehnungslehre (1844), Kirkmanovy Plusquaternions aHomoid Products (1848), Cauchyho Clefs algébraiques (1853), Cayleyovy Matrices (1858) i jeho pojmy novější, Hankelovy extensivní veličiny a čísla alternující (1867), Cliffordovy Biquaternions (s (1873). Viz Seydlerovu stať o komplanárních biquaternionech, Hydeův Calculus of Direction and Position (1884). Pro útvary rovinné svého času pilně applikována a. g. aequipollencí Bellavitisových. Poměr různých a-ber g-ých ukazuje příkladně ta okolnost, že quaterniony Hamiltonovy jsou duálními matricemi Cayleyovými. Pro třídění a-ber g-ých důležity jsou zvláštní případy: čtverecurčitých prvků (P₁) jest určen vztahem $P_{1}^{2}+I=0$, značí-li I idempotentní prvek, čtverec druhého druhu (nilpotentního) mizí, tak že $P_{2}^{2}=0$. Příkladem tohoto jest plocha rovnoběžníka dvou vektorů $\left[v_{1}\right]$ a $\left[v_{2}\right]$, určená kvantitativně výrazem $v_{1}v_{2}\sin <{\begin{matrix}v_{1}\\v_{2}\end{matrix}}$. Pro $v_{1}=v_{2}$ patrně $v^{2}=0$. Grassmann nazývá jej externím součinem a značí $\left[v_{1}v_{2}\right]$. V mluvě a písmě Ham. quaternionů $\left[v_{1}v_{2}\right]=-V\left(v_{1}v_{2}\right)$, kdežto Grassmannův interní součin $\left[v_{1}v_{2}\right]=-S\left(v_{1}v_{2}\right)$. Ze slovanských prací, mezi a-ry g-ké příslušných, dlužno uvésti: W. Źmurko, Wykład matematyki na podstawie iłości kierunkowych (kvantit směrných), Lvov 1864 a Ed. Weyr, O binarných matricích, Praha 1887. Bnš.