18
však dokázáno, že též ∡ACE=BAC; celý tedy ∡ACD rovná se oběma vnitřním protějším BAC+ABC.
Společným buď ∡ACB; tedy ∡ACD+ACB=ABC+BCA+CAB. Avšak ACD+ACB=2R; tedy též ACB+CBA+BAC=2R.
V každém tedy trojúhelníku, prodlouží-li se — —.
Přímky spojující dvě stejné rovnoběžky na téže straně též samy jsou stejné a rovnoběžné.
Stejnými rovnoběžkami buďtež AB, CD a spojujtež je na téže straně[1] přímky AC, BD; pravím, že též AC, BD jsou stejné a rovnoběžné.
Veďme spojnici BC. A ježto AB∥CD a je protíná BC, jsou střídavé úhly ABC, BCD sobě rovny. A ježto AB=CD a společnou BC, tož obě AB, BC rovnají se střídavě oběma BC, CD, a ∡ABC=BCD; základna tedy AC rovná se základně BD a △ABC=BCD, i zbývající úhly budou jednotlivě rovny úhlům zbývajícím, proti nimž leží stejné strany, tedy ∡ACB=CBD. A ježto přímka BC protínajíc obě přímky AC, BD tvoří střídavé úhly navzájem stejné, tedy AC∥BD. Bylo však dokázáno, že jest jí též rovna.
Tedy přímky spojující — —.
Rovnoběžníky mají protější strany i úhly navzájem stejné a úhlopříčkou se půlí.
Buď rovnoběžníkem ACDB, úhlopříčkou jeho pak BC; pravím, že v rovnoběžníku ACDB protější strany i úhly jsou navzájem stejné a že úhlopříčka BC jej půlí.
Neboť ježto AB∥CD a je protíná přímka BC, střídavé úhly ABC, BCD jsou si rovny. Dále, ježto AC∥BD a je protíná BC, střídavé úhly ACB, CBD jsou si rovny. Oba zajisté trojúhelníky ABC, BCD mají dva úhly ABC, BCA dvěma BCD, CBD jednotlivě stejné a jednu stranu jedné straně rovnou, totiž společnou BC při stejných úhlech; tedy též zbývající strany zbývajícím stranám jednotlivě bude míti rovné a zbývající úhel úhlu zbývajícímu; tedy strana AB=CD, AC=BD, a rovněž ∡BAC=CDB. A ježto ∡ABC=BCD a ∡CBD=ACB, tedy celý ∡ABD roven celému ACD. Bylo pak dokázáno, že též ∡BAC=CDB.
- ↑ T. j. nikoli na př. B s C.
